Question

15．过椭圆3x²+4y²=48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则|AB|等于$\frac{48}{7}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由椭圆3x²+4y²=48化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，可得c．椭圆的左焦点F（-2，0）．直线l的方程为：y=x+2．与椭圆方程联立化为7x²+16x-32=0．利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由椭圆3x²+4y²=48化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
可得$c=\sqrt{16-12}$=2．
∴椭圆的左焦点F（-2，0）．
直线l的方程为：y=x+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$，化为7x²+16x-32=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{16}{7}$，x₁x₂=-$\frac{32}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{16}{7}）^{2}-4×（-\frac{32}{7}）]}$=$\frac{48}{7}$．
故答案为：$\frac{48}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．