Question

5．已知△ABC的顶点A的坐标为（3，-1），∠B，∠C的平分线所在的直线方程分别是x=0，y=2x，则BC边所在的直线方程为（　　）

• A． x+7y+20=0
• B． x-7y+20=0
• C． 7x-y+20=0
• D． 7x+y+20=0

Answer 1

分析 根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，得出点A关于x=0和y=2x的对称点均在BC上，
求出点A关于直线x=0与y=2x的对称点，再求直线BC的方程．

解答 解：∵角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，
∴AB与BC关于x=0对称，AC与BC关于y=2x对称，
∴点A关于x=0和y=2x的对称点均在BC上，
又点A（3，-1）关于直线x=0的对称点为A₁（-3，-1）；
设点A（3，-1）关于y=2x的对称点为A₂（a，b），
则AA₂的斜率为-$\frac{1}{2}$，即$\frac{b+1}{a-3}$=-$\frac{1}{2}$，整理得a+2b=1①；
AA₂的中点（$\frac{a+3}{2}$，$\frac{b-1}{2}$）在直线y=2x上，
∴$\frac{b-1}{2}$=2×$\frac{a+3}{2}$，整理得2a-b=-7②；
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=1}\\{2a-b=-7}\end{array}\right.$，
解得A₂坐标为（-$\frac{13}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴直线A₁A₂的方程为$\frac{y+1}{\frac{9}{5}+1}$=$\frac{x+3}{-\frac{13}{5}+3}$，
化为一般方程是7x-y+20=0，
∴BC的直线方程为7x-y+20=0．
故选：C．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点关于直线的对称问题，解题时应灵活应用对称性，是综合性题目．