Question

20．设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+3=0．
（1）证明l₁与l₂相交；
（2）设l₁与l₂的交点为（a，b），求证3a²+b²为定值．

Answer 1

分析 （1）用反证法，假设l₁与l₂不相交，则l₁∥l₂，k₁=k₂，得出矛盾，从而证明命题成立；
（2）根据点P的坐标满足两直线方程，求出3a²+b²是否为定值即可．

解答 解：（1）证明：反证法，假设是l₁与l₂不相交，
则l₁与l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+3=0，得
${{k}_{1}}^{2}$+3=0，
此时与k₁为实数的事实相矛盾；
从而k₁≠k₂，即l₁与l₂相交；…（6分）
（2）因为交点P的坐标（a，b）满足
$\left\{\begin{array}{l}{b-1{=k}_{1}a}\\{b+1{=k}_{2}a}\end{array}\right.$，
即（b-1）（b+1）=k₁k₂a²=-3a²，
整理，得3a²+b²=1；
所以3a²+b²为定值1．…（12分）

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了反证法的应用问题，是基础题目．