Question

10．知点F₁（-1，0）和点F₂（1，0），以F₁、F₂为焦点的椭圆和以线段F₁F₂为直径的圆于第一、三象限交于A，B两点，直线AB的斜率为k，若0＜k≤$\sqrt{3}$，则此椭圆的离心率e的取值范围为[$\sqrt{3}$-1，1）．

Answer 1

分析 设出椭圆方程和圆方程，联立求得A，B的交点，运用直线的斜率公式，结合离心率公式和不等式的解法，即可得到所求离心率的范围．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
与x²+y²=1联立，可得
x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，y=±$\sqrt{\frac{{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
即有直线AB的斜率为k=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
由b²=a²-1，可得k=$\sqrt{\frac{（{a}^{2}-1）^{2}}{{a}^{2}（2-{a}^{2}）}}$，
由0＜k≤$\sqrt{3}$，可得a²（2-a²）＞0，且（a²-1）²≤3a²（2-a²），
解得1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a²≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$∈[$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]．
由0＜e＜1，可得离心率e的取值范围是[$\sqrt{3}$-1，1）．
故答案为：[$\sqrt{3}$-1，1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立圆的方程和椭圆方程求交点是解题的关键．