Question

1．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，且a₁=1，S₅=25，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前10项和等于（　　）

• A． $\frac{9}{19}$
• B． $\frac{10}{21}$
• C． $\frac{18}{19}$
• D． $\frac{20}{21}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，S₅=25，
∴5×1+$\frac{5×4}{2}d$=25，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前10项和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{19}-\frac{1}{21}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{21}）$=$\frac{10}{21}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．