Question

2．已知：平面向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosα），-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求：α；      
（Ⅱ）求：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得到数量积为0，根据角度范围，求a；      
（Ⅱ）利用向量的平方等于其模的平方，首先将|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|两边平方，利用三角函数公式化简变形，根据正弦函数的有界性求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0   即：sinα+cosα=0∴tanα=-1，
∵-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
∴$α=-\frac{π}{4}$     …（5分）
（Ⅱ）由已知得：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（sinα+1）²+（1+cosα）²=3+2（sinα+cosα）=3+2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），∵-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
∴$-\frac{π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）≤1$
即：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²≤3+2$\sqrt{2}$，
所以，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$．…．（10分）

点评 本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简求值；注意角度范围；属于基础题．