Question

13．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值；
（3）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，连接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理条件；
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可；
（3）利用等体积求出D到平面ABC的距离，即可求出AD与平面ABC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，
∵O为BD的中点，AB=2，AC=$\sqrt{6}$，
∴AO=CO=$\sqrt{3}$．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）解：过O作OE⊥BC于E，连接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴AE⊥BC．∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．
在Rt△AEO中，∴AO=$\sqrt{3}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴二面角A-BC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）解：设D到平面ABC的距离为h，则S_△ABC=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，S_△BDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}$h
∴h=$\frac{6}{\sqrt{15}}$，
∴AD与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{h}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本小题主要考查直线与平面垂直的判定，AD与平面ABC所成角的正弦值以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．