Question

18．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A₁，A₂和A₃表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）=$\frac{2}{5}$；
②P（B|A₁）=$\frac{5}{11}$；
③事件B与事件A₁相互独立；
④A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件．

Answer 1

分析 由题意A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A₁），P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．

解答 解：由题意A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，P（A₁）=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，P（A₃）=$\frac{3}{10}$；
P（B|A₁）=$\frac{P（B{A}_{1}）}{P（{A}_{1}）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{11}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{11}$，由此知，②正确；
P（B|A₂）=$\frac{4}{11}$，P（B|A₃）=$\frac{4}{11}$；
而P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{11}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{4}{11}$=$\frac{9}{22}$．由此知①③不正确；
A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确；
故答案为：②④．

点评 本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．