Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}$-a（x-1）．
（1）若对任意的x∈（1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在x∈（1，+∞），有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围；
（3）分析（1）（2）中a的取值范围的关系，并说明其原因．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可得到$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}＞a$在x∈（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$，通过求导，根据导数符号便能够求得g（x）在（1，+∞）上的最小值为1，从而得出a＜1；
（2）同（1）可得到$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}≤a$在（1，+∞）上有解，并且由（1）知函数$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$的最小值为1，从而便得出a≥1；
（3）显然（1）（2）中a的取值范围的并集为R，并可以看出原因便是：对任意的a∈R，（1）（2）中必有一个成立．

解答 解：（1）x∈（1，+∞）时，由f（x）＞0恒成立得：
$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}-a（x-1）＞0$恒成立，x-1＞0；
∴$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}＞a$恒成立；
设$g（x）=\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$，x＞1，g′（x）=$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-6x+5}•（x-1）^{2}}$；
∴1＜x＜2时，g′（x）＜0，x＞2时，g′（x）＞0；
∴g（2）=1是g（x）在（1，+∞）上的最小值；
∴1＞a，即a＜1；
实数a的取值范围为（-∞，1）；
（2）同（1）由存在x∈（1，+∞），使f（x）≤0成立可得到：
$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}≤a$在（1，+∞）上成立；
由（1）知函数$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$在（1，+∞）上的最小值为1；
∴1≤a，即a≥1；
∴实数a的取值范围为[1，+∞）；
（3）通过（1）（2）a的取值范围看出，这两个a的取值范围的并集为R；
即对任意的a∈R，（1）（2）中必有一个成立；
原因为：
对任意一个实数a要么使f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，要么存在x∈（1，+∞），使f（x）≤0成立；
∴对于任意的a∈R，（1）（2）中必有一个成立；
∴（1）（2）中a的取值范围的并集为R．

点评 考查不等式的性质，根据导数求函数最值的方法与过程，弄清（1）（2）中的“任意的x∈（1，+∞）”和“存在x∈（1，+∞）”各自的含义，并注意正确求导．