Question

4．已知a，b，c∈R₊，a+b+c=1，求证：
（1）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$
（2）ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式可得：（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1），代入条件，即可证明结论；
（2）利用综合法，由a+b+c=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，利用重要不等式a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，易证a²+b²+c²≥ab+bc+ac，与前者联立可证得结论．

解答 证明：（1）由柯西不等式可得：（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1），
∵a+b+c=1，
∴（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$；
（2）∵a+b+c=1，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
又a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
将以上三个不等式相加得：2（a²+b²+c²）≥（2ab+2bc+2ac），
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∴1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac=3（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查综合法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．