Question

14．若曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线l经过点A（2，4），曲线C表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．

解答 解：∵直线l：y=k（x-2）+4经过定点A（2，4）
曲线C：y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，化简得x²+（y-1）²=4，
表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆
∴直线l与曲线C有两个交点，即直线与半圆相交
求得当直线与半圆相切时，斜率k=$\frac{5}{12}$
当直线l为经过点B（-2，1）时，是斜率k的最大值，此时k=$\frac{3}{4}$
动直线l位于切线与AB之间（包括AB）时，直线l与曲线C有两个交点，
∴k的取值范围为（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题以两条曲线有两个交点为例，求斜率k的范围，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．