Question

6．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为4的等边三角形，侧棱垂直于底面，AA₁=6，M是AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面MBC₁
（Ⅱ）求四棱锥M-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接CB₁，设CB₁∩BC₁=O．连接OM．由四边形BB₁C₁C为矩形，可得CO=OB₁，又CM=MA，利用三角形中位线定理可得MO∥AB₁．利用线面平行的判定定理即可得出．
（II）取BC的中点E，连接AE．取CE的中点F，连接MF．由于△ABC是边长为4的等边三角形，可得AE⊥BC，且AE=$2\sqrt{3}$．利用面面垂直的性质定理可得AE⊥侧面BCC₁B₁，利用三角形中位线定理与线面垂直的性质定理可得MF⊥侧面BCC₁B₁，利用四棱锥M-BB₁C₁C的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}•MF$即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，连接CB₁，设CB₁∩BC₁=O．连接OM．
由四边形BB₁C₁C为矩形，
∴CO=OB₁，
又CM=MA，
∴MO∥AB₁．
∵AB₁?平面MBC₁，MO?平面MBC₁．
∴AB₁∥平面MBC₁．
（II）解：取BC的中点E，连接AE．取CE的中点F，连接MF．
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AE⊥BC，且AE=$2\sqrt{3}$．
∵底面ABC⊥侧面BCC₁B₁，底面ABC∩侧面BCC₁B₁=BC，
∴AE⊥侧面BCC₁B₁，
∵$MF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AE$，
∴MF⊥侧面BCC₁B₁，MF=$\sqrt{3}$．
∴四棱锥M-BB₁C₁C的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}•MF$=$\frac{1}{3}×4×6×\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题查克拉直三棱柱的性质、线面及面面平行与垂直的判定定理及其性质定理、三角形中位线定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．