Question

18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知c=2，sinB=$\sqrt{2}$sinA
（1）若B=$\frac{2π}{3}$，求边长a；
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理得到b=$\sqrt{2}$a，由余弦定理，得到关于a的方程，解得即可；
（2）先余弦定理得到cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，再求出sinB，根据面积公式，求出S=$\frac{1}{2}$acsinB，两边平方，得到S²=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，继而求出面积的最大值．

解答 解：（1）∵B=$\frac{2π}{3}$，sinB=$\sqrt{2}$sinA，
∴b=$\sqrt{2}$a，
由余弦定理，得到b²=a²+c²-2accosB，
∴a²-4-2a=0，
解得a=1+$\sqrt{5}$，a=1-$\sqrt{5}$（舍去）；
（2）由由余弦定理，得到b²=a²+c²-2accosB，
即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4-2{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{a}-\frac{a}{4}）^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=a$\sqrt{1-（\frac{1}{a}-\frac{a}{4}）^{2}}$，
∴S²=-$\frac{1}{16}$（a⁴-24a²+16）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
当a²=12时，即a=2$\sqrt{3}$时，S²有最大值，
∴S²_max=8，
∴S_max=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及二次函数的最值问题，属于中档题．