Question

10．设x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≤0}\\{x+y≥4}\\{2x-y≤1}\end{array}\right.$，则z=x-y的取值范围为（-∞，$-\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 先根据不等式组画出该不等式组表示的平面区域，而由z=x-y得y=x-z，可将该式看成斜率为1，在y轴上的截距为-z的一族平行直线的方程，并且得到直线y=x-z的截距增大时，z减小，结合平面区域即可知道当直线y=x-z经过直线x+y=4和直线2x-y=1的交点时z取到最大值，并且可以无限变小，这样即可得出z的取值范围．

解答 解：原不等式所表示的平面区域如下图阴影部分所示：

由z=x-y得，y=x-z，该方程便表示斜率为1，在y轴上截距为-z的一族平行直线；
∴截距最小z便最大；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$得阴影部分的下端点为（$\frac{5}{3}，\frac{7}{3}$）；
∴直线y=x-z经过下端点时z取最大值-$\frac{2}{3}$；
此时随着虚线向上平移截距不断增大，而z不断减小；
∴z的取值范围为（-∞，-$\frac{2}{3}$]．
故答案为：（-∞，-$\frac{2}{3}$]．

点评 考查不等式组表示一个平面区域，并能够正确找出不等式组所表示的平面区域，以及数形结合解题的方法，掌握线性规划问题的解决方法与过程，直线在y轴上的截距的概念及求法，知道y=x-z表示一族平行直线．