Question

3．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD₁∥平面A₁BE
（Ⅱ）求三棱锥B₁-A₁BE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正方体的性质可得：四边形A₁BCD₁是平行四边形，可得CD₁∥BA₁．再利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BE}={V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}×AD$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵${A}_{1}{D}_{1}\underset{∥}{=}{B}_{1}{C}_{1}\underset{∥}{=}BC$，
∴${A}_{1}{D}_{1}\underset{∥}{=}BC$．
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，
∴CD₁∥BA₁．
∵CD₁?平面A₁BE，BA₁?平面A₁BE，
∴CD₁∥平面A₁BE．
（Ⅱ）解：${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BE}={V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$
=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}×AD$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$
=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方体的性质、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．