Question

12．已知A（-4，0），B是圆F：（x-4）²+y²=4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交直线BF于P，则动点P的轨迹方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

Answer 1

分析 利用线段垂直平分线的性质和双曲线的定义，可证出||PF|-|PA||为定值，且这个定值小于AF长，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的双曲线，然后求出a、b的值得到双曲线的方程，即为所求动点P的轨迹方程．

解答 解：由题意得圆心F（4，0），半径r=2，
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，
得|PA|=|PB|，
∴||PF|-|PA||=||PF|-|PB||=|BF|=r=2＜|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的双曲线，
其中2a=2，c=4，可得b²=c²-a²=15，
∴双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

点评 本题给出圆内满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了双曲线的定义、线段的中垂线的性质和圆的性质等知识，属于中档题．