Question

4．已知集合M是由具有如下性质的函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），在定义域内存在两个变量x₁，x₂且x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．则下列函数：①f（x）=e^x（x＞0）②f（x）=$\frac{lnx}{x}$③f（x）=$\sqrt{x}$④f（x）=1+sinx在集合M中的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据条件转化为求函数存在割线斜率小于1，利用导数的应用进行求解．

解答 解：对于函数f（x），在定义域内存在两个变量x₁，x₂且x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
即等价为$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1
即存在割线斜率小于1，
①若f（x）=e^x（x＞0），
则函数的导数f′（x）=e^x，
∵x＞0，∴f′（x）＞1，不满足条件．
②若f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则函数的导数f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则当x=e时，f′（x）=$\frac{1-lne}{{e}^{2}}=0$满足f′（x）＜1，即满足条件．
③若f（x）=$\sqrt{x}$，x≥0，
则则函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
则当x=1时，f′（x）=$\frac{1}{2}$满足f′（x）＜1，即满足条件．
④若f（x）=1+sinx，则f′（x）=cosx≤1，
故满足f′（x）＜1，即满足条件．
故选：C

点评 本题主要考查函数的新定义，利用条件转化为斜率问题，利用导数是解决本题的关键．