Question

14．在△ABC中，A=120°，b=1，S_△ABC=$\sqrt{3}$
（1）求a、c的大小；     
（2）求sin（B+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×c•sin12{0}^{°}$=$\sqrt{3}$，解得c．利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得sinB，由于B为锐角，可得cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$，利用$sin（B+\frac{π}{6}）$=$sinBcos\frac{π}{6}$+cosBsin$\frac{π}{6}$即可得出．

解答 解：（1）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×c•sin12{0}^{°}$=$\sqrt{3}$，解得c=4．
∴a²=b²+c²-2bccosA=1²+4²-2×1×4×cos120°=21．
∴a=$\sqrt{21}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∵B为锐角，∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$=$sinBcos\frac{π}{6}$+cosBsin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．