Question

5．已知函数f（x）=x-plnx．
（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出p=1的函数f（x），求出定义域和导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（ II）求出f（x）的导数，结合定义域，讨论当p≤0时，当p＞0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值．

解答 解：（Ⅰ）当p=1时，f（x）=x-lnx，定义域为（0，+∞），
由$f'（x）=1-\frac{1}{x}＜0$，可解得0＜x＜1，f′（x）＞0，可解得x＞1．
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间（1，+∞）；  
（ II）由f（x）=x-plnx，可得$f'（x）=1-\frac{p}{x}=\frac{x-p}{x}$，x∈（0，+∞），
当p≤0时，f′（x）＞0当x∈（0，+∞）时恒成立；
此时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以无极值．         
当p＞0时，令f′（x）=0可得x=p；                          
当0＜x＜p时，f′（x）＜0，当x＞p时，f′（x）＞0，
所以x=p是函数f（x）的极小值点，极小值为f（p）=p-plnp； 
综上所述，当p≤0时函数f（x）无极值．
当p＞0时函数f（x）有极小值p-plnp，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．