Question

15．能使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a＞0，b＞0且a+b=1，则$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上确界为（　　）

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． -4

Answer 1

分析 根据题意和基本不等式求出$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}$的范围，再求出$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的范围，由函数的上确界的定义即可求出答案．

解答 解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}$）=$\frac{5}{2}+\frac{2a}{b}+\frac{b}{2a}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{2a}}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{2a}{b}=\frac{b}{2a}$取等号，
∴$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}≤$-$\frac{9}{2}$，
由题意可得，$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上确界是$-\frac{9}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查新定义的应用，基本不等式和“1”的代换，注意基本不等式的三个条件，属于基础题．