Question

10．已知直线l经过点P（3，4）．
（1）若直线l的倾斜角为θ（θ≠90°），且直线l经过另外一点（cosθ，sinθ），求此时直线的方程；
（2）若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线上两点以及直线倾斜角表示直线斜率，得到关于θ的等式，求出tanθ．
（2）由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y-4=k（x-3），由直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，由此得到直线在x，y轴上的截距的绝对值相等，得到关于斜率k的方程求出斜率．

解答 解：（1）直线l的斜率为k=tanθ=$\frac{4-sinθ}{3-cosθ}$，…（2分）
解得4cosθ=3sinθ，即tan$θ=\frac{4}{3}$…（4分）
所以直线l的斜率为$\frac{4}{3}$，直线l的方程为y=$\frac{4}{3}x$；…（6分）
（2）由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y-4=k（x-3），…（7分）
分别令x，y等于零得到x轴上的截距为$-\frac{4}{k}+3$，y轴上的截距为-3k+4，…（8分）
由|$-\frac{4}{k}$+3|=|-3k+4|，
得-$\frac{4}{k}$+3=-3k+4，解得k=-1，或k=$\frac{4}{3}$；…（10分）
或者-$\frac{4}{k}$+3=3k-4，解得k=1或k=$\frac{4}{3}$；…（12分）
经检验k=$\frac{4}{3}$不合题意，舍去．…（13分）
综上：k的值为±1，直线l的方程为：y=x+1或y=-x+7．…（14分）．

点评 本题考查了直线的斜率以及直线在坐标轴上的截距．考查了讨论的思想．