Question

19．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=1可得曲线C的普通方程．直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程．
（2）曲线C上任意一点P（3cosθ，2sinθ）到l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|6cosθ+2sinθ-6|．则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$|$\sqrt{10}$sin（θ+α）-3|，其中α为锐角，且tan α=3．利用正弦函数的单调性即可得出最值．

解答 解：（1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=1可得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为2x+y-6=0．
（2）曲线C上任意一点P（3cosθ，2sinθ）到l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|6cosθ+2sinθ-6|．
则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$|$\sqrt{10}$sin（θ+α）-3|，其中α为锐角，且tan α=3．
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为$\frac{6\sqrt{10}+20}{5}$．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为$\frac{20-6\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．