Question

8．（1）计算$\frac{{{{（1+i）}^2}}}{1+2i}+\frac{{{{（1-i）}^2}}}{2-i}$；
（2）若实数x，y满足$\frac{x}{1+i}+\frac{y}{1+2i}=\frac{10}{1+3i}$，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则化简即可；
（2）化简等式左边，利用复数相等，得到关于x，y的方程组解之．

解答 解：（1）$\frac{{{{（1+i）}^2}}}{1+2i}+\frac{{{{（1-i）}^2}}}{2-i}$=$\frac{2i（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}+\frac{-2i（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{4+2i}{5}+\frac{2-4i}{5}$=$\frac{6-2i}{5}$=$\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i$；   …（7分）
?（2）$\frac{x}{1+i}+\frac{y}{1+2i}=\frac{10}{1+3i}$⇒$\frac{x（1-i）}{（1+i）（1-i）}+\frac{y（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$
⇒$\frac{x（1-i）}{2}+\frac{y（1-2i）}{5}=\frac{10（1-3i）}{10}$
⇒$（\frac{x}{2}+\frac{y}{5}）-（\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}）i=1-3i$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=1}\\{\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}=3}\end{array}\right.$
解得x=-2，y=10 …（14分）

点评 本题考查了复数的混合运算以及利用复数相等求参数．考查了学生的运算能力，属于基础题