Question

13．求“方程3^x+4^x=5^x的解”有如下解题思路：设$f（x）={（\frac{3}{5}）^x}+{（\frac{4}{5}）^x}$，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$的解为-1或1．

Answer 1

分析 类比求求“方程3^x+4^x=5^x的解”的解题思路，设f（x）=x³+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=$\frac{1}{x}$，解之即得方程${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$的解．

解答 解：类比上述解题思路，设f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，则f（x）在R上单调递增，
∵${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$，
∴x=$\frac{1}{x}$，
解之得，x=-1或1．
故答案为：-1或1．

点评 本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．