Question

5．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：
（1）|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|；        （2）（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$不与向量$\overrightarrow{c}$垂直．；
（3）|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；      （4）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=0，或者$\overrightarrow{b}$=0；
（5）（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$；     （6）（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²
其中真命题的序号为（3）（6）．

Answer 1

分析 根据向量的模，向量的数量积运算法则，向量垂直的充要条件等知识点逐一判断6个结论的真假，可得答案．

解答 解：（1）中，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，故cosθ≠±1，|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•|cosθ|≠|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，故（1）错误；
（2）[（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{b}$]•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）=0，故（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{c}$垂直，故（3）错误；
（3）根据三角形两边之差小于第三边，可得|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，故（3）正确；
（4）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，或者$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，或者$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，故（4）错误；
（5）（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$表示一个与$\overrightarrow{c}$共线的向量，（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{a}$表示一个与$\overrightarrow{a}$共线的向量，当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不共线时，两者一定不相等，故（5）错误；
（6）（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{b}$²=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²．故（6）正确；
故真命题的序号为：（6），
故答案为：（3）（6）

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了向量的基本运算，难度不大，属于基础题．