Question

17．（1）证明：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值．
（2）通过对（1）的类比，提出正四面体的一个正确的结论，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）利用等面积，即可证明结论；
（2）根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质，一般遵循“点到线”，“线到面”，“面到体”等原则，由在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，是一个与线有关的性质，由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质，再由割补法可证明结论．

解答 （1）证明：图1所示，设P是正三角形ABC内任一点（不与顶点重合），
点P到正三角形三边的距离分别为h₁，h₂，h₃，三角形边长为a，高为h，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ah₁+$\frac{1}{2}$ah₂+$\frac{1}{2}$ah₃，------（4分）
即h=h₁+h₂+h₃．
所以，正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值-------（5分）
（2）类比的结论是：正四面体内任一点（不与顶点重合）到它的四个面的距离和为定值．-------（8分）
下面给出证明：如图2：
设点P为正四面体ABCD内部任一点，且点P到四个面的距离分别为PM₁，PM₂，PM₃，PM₄，正四面体的高为h，
则点P将四面体分成四个共顶点的三棱锥．
因为ABCD为正四面体，所以四个面面积相同，
由V_P-BCD+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-ABC=V_ABCD得：PM₁+PM₂+PM₃+PM₄=h．-------（14分）

点评 本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．