Question

6．设函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y柱右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，由2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即可解得ω的值．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$与函数y=-a的图象有两个交点，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…．（2分）
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…4 分
依题意得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$解得ω=$\frac{1}{2}$…．（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
又当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，设x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]…（8分）
f（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个实数解，即函数g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$与函数y=-a的图象有两个交点．…（11分）
由函数g（x）的图象得a的取值范围是（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$]…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．