Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是①②④．（写出所有正确的命题的编号）
①线段BM的长是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．

Answer 1

分析 取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A₁DE，可得④正确；由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确．A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．

解答 解：①取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA₁，BF∥DE，

∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故D正确
由∠A₁DE=∠MFB，MF=$\frac{1}{2}$A₁D=定值，FB=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故①正确．
②∵B是定点，
∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确，
若③成立，则由 DE⊥CE，可得 DE⊥面A1EC
∴DE⊥A1E，而这与DA1⊥A1E矛盾
故③错误．
④取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A₁DE，可得④正确；
故正确的命题有：①②④，
故答案为：①②④．

点评 掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．