Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=y的焦点为F，点P₁（1，1），Q_n（n，n²）（n∈N^*），连接OP₁，作抛物线的切线l₁，使之与直线OP₁平行，所得切点记为P₂（a₂，a${\;}_{2}^{2}$）再作抛物线的切线l₂，使之与直线OP₂平行，所得切点记为P₃（a₃，a${\;}_{3}^{2}$）…以此类推，得到数列{a_n}，若a₁=1，数列{b_n}满足|Q_nF|=nb_n+$\frac{1}{4}$，则数列{a_nb_n}的前n项和为（　　）

• A． （n-1）•2ⁿ+1
• B． $\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$-2
• C． $\frac{2-n}{{2}^{n-1}}$
• D． 4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 利用导数的几何意义，可得数列{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；根据数列{b_n}满足|Q_nF|=nb_n+$\frac{1}{4}$，可得n²+$\frac{1}{4}$=nb_n+$\frac{1}{4}$，b_n=n，再利用错位相减法，即可求出数列{a_nb_n}的前n项和

解答 解：∵y=x²，∴y′=2x，
则2a_n=a_n-1，
∵a₁=1，∴数列{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
∵数列{b_n}满足|Q_nF|=nb_n+$\frac{1}{4}$，
∴n²+$\frac{1}{4}$=nb_n+$\frac{1}{4}$，
∴b_n=n，
∴a_nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
∵S_n=1+2•$\frac{1}{2}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
两式相减，整理可得S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
故选：D．

点评 本题考查导数的几何意义，考查抛物线的定义，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．