Question

16．一个不透明的盒子中装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1、2、3、4．
（1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
（2）若先从盒中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回盒中，然后再从盒中随机取一个球，该球的编号为b．
①求使得函数f（x）=asinx+bcosx的最大值小于4的概率；
②求使得向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）与$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夹角为钝角的概率．

Answer 1

分析 （1）从逐个不放回取球两次，共有4×3=12种，第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的有（2，1），（2，4），（4，2）3种，根据概率公式计算即可；
（2）先从盒中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回盒中，然后再从盒中随机取一个球，该球的编号为b．共有4×4=16种，
①其中函数f（x）=asinx+bcosx的最大值大于等于4的只有一种，根据概率公式计算即可；
②其中使得向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）与$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夹角为钝角有10种，根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）从逐个不放回取球两次，共有4×3=12种，分别为（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（3，4），（4，3），第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的有（2，1），（2，4），（4，2）3种，
故第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率为$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$．
（2）先从盒中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回盒中，然后再从盒中随机取一个球，该球的编号为b．共有4×4=16种，分别为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（3，4），（4，3），
①∵函数f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），
∴函数f（x）=asinx+bcosx的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜4，
即a²+b²＜16，因为只有4²+4²=16，其它均小于16，
故函数f（x）=asinx+bcosx的最大值小于4的概率P=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$．
②∵向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）与$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夹角为钝角，
∴（2a-6）（3-2b）+2×（-1）＜0，
即（a-3）（3-2b）＜2，
共有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（2，2），（3，2），（4，2），（4，3），（4，4），（3，4）共10种，
故向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）与$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夹角为钝角的概率为$\frac{10}{16}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了古典概型的概率问题，关键是列举出所有满足条件的基本事件，属于中档题．