Question

1．已知0°＜α＜90°，0°＜α+β＜90°，3sinβ=sin（2α+β），则tanβ的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得tanα＞0，由和差角的公式和已知式子可得tan（α+β）=2tanα，可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，由基本不等式可得最值．

解答 解：∵0°＜α＜90°，∴tanα＞0
又∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
∴tanβ=tan（α+β-α）=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}$
=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{1}{tanα}$=2tanα即tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，上式取最大值$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及基本不等式求最值，属中档题．