Question

20．如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．
（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；
（Ⅱ）在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC＞3时没有触礁危险．

解答 解：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分
从而MC=5sin60°=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$＞3，没有触礁危险．…8分
（Ⅱ）设CM=x，在△ABM中由正弦定理得，$\frac{5}{sin（α-β）}=\frac{x}{cosαcosβ}$，
解得x=$\frac{5cosαcosβ}{sin（α-β）}$，…14分
所以当$\frac{5cosαcosβ}{sin（α-β）}$＞3时没有触礁危险．…16分．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．