Question

18．已知数列{a_n}{b_n}，对任何正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ+1
（1）若数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a_n}通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{1}•{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}•{b}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}•{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）仿写等式，两式相减得到a_nb_n⁼n•2^（n-1）利用等比数列的通项公式求出b_n=2^（n-1）代入求出a_n=n；
（2）由$\frac{1}{{a}_{i}{b}_{i}}$=$\frac{1}{i•{2}^{i-1}}$，通过放缩法得到要证的不等式．

解答 解：（1）由题意可得n=1时，a₁b₁=1，
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ+1①
将n换为n-1，（n＞1），可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1•b_n-1=（n-2）•2^n-1+1②
①-②，可得a_nb_n=（n-1）•2ⁿ-（n-2）•2^n-1=n•2^n-1，
由首项为1，公比为2的等比数列，可得b_n=2^n-1，
可得a_n=n；
（2）证明：a_ib_i=i•2^（i-1） 所以$\frac{1}{{a}_{i}{b}_{i}}$=$\frac{1}{i•{2}^{i-1}}$，
所以$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{a}_{i}{b}_{i}}$=$\frac{1}{1×{2}^{0}}$+$\frac{1}{2×{2}^{1}}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜1+$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$得证．

点评 求数列的前n项和关键是求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，考查放缩法的证明不等式．