Question

14．如图，点F在△OCD所在的区域内（含边界）运动，$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，当x=-$\frac{1}{3}$时，则y的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OE}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$，过E作EH∥OB，交OD于F，OC于G，BD于H，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，可得B为AC的中点，为AD的三等分点，
可得符合要求的P点位于线段FG上．运用平行线分线段成比例，即可得到所求范围．

解答 解：设$\overrightarrow{OE}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$，过E作EH∥OB，
交OD于F，OC于G，BD于H，
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，可得B为AC的中点，
为AD的三等分点，
可得符合要求的P点位于线段FG上．
由平行线分线段成比例，可得
EH=$\frac{4}{3}$OB，FH=$\frac{5}{6}$OB，GH=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
即有EF=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，EG=$\frac{2}{3}$OB，
则y的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查向量的三角形法则，是一个中档题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．