Question

18．已知A、B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，且AF=3，离心率e=$\frac{1}{2}$，又P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞2）于M、N两点，l交x轴于C点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当PF∥l时，求直线AM的方程；
（3）是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和a+c=3，结合椭圆的a，b，c的关系，假设即可得到椭圆方程；
（2）运用两直线平行的条件，求出P的坐标，结合直线方程的点斜式方程；
（3）设出点P、M、N的坐标，由MF和NF垂直得到M和N点坐标的关系，再由A、P、M和B、P、N分别共线得到M的坐标与P的坐标及N的坐标与P的坐标的关系式，三个关系式整理后求得m=4，说明存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F．

解答 解：（1）因为AF=3，离心率$e=\frac{1}{2}$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
∴a²=4，b²=3，
椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）连结PF，当PF∥l时，
将x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
得y=±$\frac{3}{2}$，则P（1，±$\frac{3}{2}$），
又A（-2，0）且A，P，M三点共线，
∴直线AM的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0；
（3）假设存在m，设P（x₀，y₀），M（m，y₁），N（m，y₂）．
由MF垂直于NF可得（m-1）²+y₁y₂=0（*）
又由MPA三点共线可以算得：y₁=$\frac{{y}_{0}（2+m）}{{x}_{0}+2}$①
由NPB三点共线可得y₂=$\frac{{y}_{0}（m-2）}{{x}_{0}-2}$②
将①②两式带入*式可得：（m-1）²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}（{m}^{2}-4）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$．
又因为（x₀，y₀）在椭圆上，得x₀²=4（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$），
代入上式化简得m=4（m＞2）．
∴存在实数m=4，使得以MN为直径的圆过点F．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线平行和垂直的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．