Question

4．已知以点C为圆心的圆经过点A（0，-1）和B（4，3），且圆心在直线3x+y-15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆的一般方程，利用待定系数法求圆C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，P到AB距离的最大值为d+r，即可求△PAB的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0   …（1分）
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-E+F=0}\\{25+4D+3E+F=0}\\{3•（-\frac{D}{2}）+（-\frac{E}{2}）-15=0}\end{array}\right.$       …（2分）
解得D=-12，E=6，F=5                    …（5分）
∴所求圆的方程是x²+y²-12x+6y+5=0             …（6分）
（Ⅱ）|AB|=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，…（7分）
由已知知直线AB的方程为x-y-1=0       …（8分）
所以圆心C（6，-3）到AB的距离为d=4$\sqrt{2}$    …（9分）
P到AB距离的最大值为d+r=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$    …（11分）
所以△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×（4\sqrt{2}+2\sqrt{10}）$=16+8$\sqrt{5}$   …（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查系数分析解决问题的能力，比较基础．