Question

4．若函数f（x）在定义域内的一个区间[a，b]（a＜b）上函数值的取值范围恰好是$[\frac{a}{2}，\frac{b}{2}]$，则称区间[a，b]（a＜b）是函数f（x）的一个减半压缩区间．若函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+m存在一个减半压缩区间[a，b]（（b＞a≥1）．
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的减半压缩区间为[1，5]；
（2）m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）通过求导容易判断f（x）在[a，b]上是增函数，令$\sqrt{x-1}$=t，t≥0，x=t²+1，所以该方程变成t²-2t+1-2m=0，把m的值代入求出方程的解，问题得以解决．
（2）由（1）所以这个关于t的方程有两不等实根，且小根大于等于0，解该不等式组即得m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$；
∴函数f（x）在[a，b]上是增函数；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[$\sqrt{a-1}$+m，$\sqrt{b-1}$+m]；
∵[a，b]是f（x）的减半压缩区间；
∴f（x）∈$[\frac{a}{2}，\frac{b}{2}]$；
∴$\sqrt{a-1}$+m=$\frac{a}{2}$，$\sqrt{b-1}$+m=$\frac{b}{2}$，即方程$\sqrt{x-1}$+m=$\frac{x}{2}$有两不等实根；
令$\sqrt{x-1}$=t，x=t²+1，所以该方程变成：t²-2t+1-2m=0，
当m=$\frac{1}{2}$时，
t²-2t+1-2×$\frac{1}{2}$=0，解得t=0或t=2，
即$\sqrt{x-1}$=0，或$\sqrt{x-1}$=2，
解得x=1，或x=5，
故函数f（x）的减半压缩区间为[1，5]，
（2）有（1）知，则关于t的一元二次方程有两个不等实根，且两根非负；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4（1-2m）＞0}\\{1-2m≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]
故答案为：[1，5]，$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据单调性求函数的值域，一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，以及韦达定理，属于中档题．