Question

9．已知函数f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$ cos（2x+θ）（x∈R）满足2015^f（-x）=$\frac{1}{{{{2015}^{f（x）}}}}$，且f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，则θ的一个可能值是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{5π}{3}$

Answer 1

分析 由题意易得f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）且是奇函数，可得θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），结合单调性验证选项可得．

解答 解：化简可得f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
由2015^f（-x）=$\frac{1}{{{{2015}^{f（x）}}}}$可得2015^{f（-x）+f（x）}=1，
∴f（-x）+f（x）=0，∴函数f（x）是奇函数．
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），即θ=kπ-$\frac{π}{3}$，
故B，D可能正确，
又∵f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，
∴D不满足条件．
故选：B．

点评 本题考查三角函数公式，涉及函数的奇偶性，属基础题．