Question

8．已知函数$f（x）=cosx•sin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求不等式f（x）≥$\frac{1}{4}$中x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=$\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，由三角函数的周期性及其求法可求最小正周期，由$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，（k∈Z）$得f（x）的对称轴方程．
（2）由$\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）≥\frac{1}{4}$，结合正弦函数图象可得$\frac{π}{6}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}+2kπ（k∈Z）$，化简可得x的取值范围．

解答 解：（1）由已知，有$f（x）=cosx•（{\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{1+cos2x}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x$
=$\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．…（4分）
所以，f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
由$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，（k∈Z）$得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$
所以f（x）的对称轴方程为$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$…（8分）
（2）由$\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）≥\frac{1}{4}$得$sin（{2x-\frac{π}{3}}）≥\frac{1}{2}$，
结合图象可得$\frac{π}{6}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}+2kπ（k∈Z）$，…（10分）
化简可得$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ（k∈Z）$，
所以不等式$f（x）≥\frac{1}{4}$中x的取值范围为$\{x\left|{\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ（k∈Z）\}}\right.$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．