Question

9．如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点M是侧棱PC的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDP；
（2）若tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，求三棱锥M-BDP的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2$\sqrt{2}$，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2$\sqrt{2}$，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，得PD=2，MG=$\frac{1}{2}$PD=1．利用V_M-BDP=V_P-BCD-V_M-BCD，即可得出．

解答 （1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，
∴BD=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，
又AD=2，CD=4，AB=2，
则BC=2$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=16=DC²，∴BD⊥BC．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．
（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．
由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，
∴MG∥PD，MG=$\frac{1}{2}$PD，
又PD⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面BDC．
又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，得PD=2，MG=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_M-BDP=V_P-BCD-V_M-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×2-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×1=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．