Question

1．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）满足f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），且在区间（$\frac{8π}{3}，\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：
p₁：f（x）在区间[0，2π]上单调递减；
p₂：f（x）的最小正周期是4π；
p₃：f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
p₄：f（x）的图象关于点（-$\frac{4π}{3}$，0）对称．
其中的真命题是p₂、p₄．

Answer 1

分析 根据f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{11π}{3}$对称，求得φ=$\frac{6}{11}$k-$\frac{1}{22}$，k∈z．根据f（x）在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，求得0＜ω＜1．综合可得，k=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：根据f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），可得f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）的图象关于直线x=$\frac{\frac{8π}{3}+\frac{14π}{3}}{2}$=$\frac{11π}{3}$对称，
故有ω•$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{6}$=2kπ，k∈z，可得φ=$\frac{6}{11}$k-$\frac{1}{22}$，k∈z．
根据f（x）在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，可得$\frac{14π}{3}$-$\frac{8π}{3}$=2π＜T=$\frac{2π}{ω}$，∴0＜ω＜1．
综合可得，k=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
在区间[0，2π]上，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$π]，故f（x）在区间[0，2π]上不是单调递减的，故p₁不对．
由f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），可得函数f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，故p₂正确．
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2cos$\frac{5π}{12}$，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，故p₃不对．
当x=-$\frac{4π}{3}$时，f（x）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=0，故f（x）的图象关于点（-$\frac{4π}{3}$，0）对称，故p₄正确．
故答案为：p₂、p₄．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的单调性、周期性、以及它的图象的对称性，属于中档题．