Question

12．（1）设x，y，z∈R，且满足：x²+y²+z²=1，x+2y+3z=$\sqrt{14}$，求x+y+z的值；
（2）设不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集为A，且$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{2}$∉A．求函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析 （1）14=（x²+y²+z²）（1+4+9）=（x+2y+3z）²，结合柯西不等式，即可求x+y+z的值；
（2）由不等式|x-2|＜a的解集为A，求出a=1，把a=1代入函数表达式，即可求出函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

解答 解：（1）由题14=（x²+y²+z²）（1+4+9）=（x+2y+3z）²，
但由柯西不等式，（x²+y²+z²）（1+4+9）≥（x+2y+3z）²，
当且仅当$x+2y+3z=\sqrt{14}$且$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{14}}}{14}}\\{y=\frac{{2\sqrt{14}}}{14}}\\{z=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}}\end{array}}\right.$时取等，
故取等条件必须成立，此时x+y+z=$\frac{{3\sqrt{14}}}{7}$
（2）因为$\frac{3}{2}∈A$，且$\frac{1}{2}∉A$，所以$|{\frac{3}{2}-2}|＜a$，且$|{\frac{1}{2}-2}|≥a$
解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$，
又因为a∈N^*，所以a=1
因为|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3
当且仅当（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2时取得等号，
所以f（x）的最小值为3

点评 本题考查柯西不等式，考查求函数的值域问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．