Question

10．实数x，y满足x²+y²-2x-2y+1=0，则$\frac{y-4}{x-2}$的最小值为（　　）

• A． $-\frac{3}{4}$
• B． $-\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 整理方程可知，方程表示以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆，设$\frac{y-4}{x-2}$=k，即kx-y-2k+4=0，进而根据圆心（1，1）到kx-y-2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，即可得出结论．

解答 解：方程x²+y²-2x-2y+1=0表示以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆．
设$\frac{y-4}{x-2}$=k，即kx-y-2k+4=0，
由圆心（1，1）到kx-y-2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|k-1-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$1，
解得k=$\frac{4}{3}$．
所以$\frac{y-4}{x-2}$的最小值为$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．