Question

19．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+ax（a∈R）
（1）a=0时，求f（x）最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）是单调减函数，求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=0的函数的导数，求得导数大于0的解，导数小于0的解，即可得到极小值，也为最小值；
（2）求出函数的导数，由题意可得$\frac{a{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$≤0，x≥2恒成立，只要a≤（$\frac{1}{x}$）²-$\frac{1}{x}$的最小值，运用配方，由二次函数的最值求法，即可得到m的范围．

解答 解：（1）a=0时f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
即有x=1时，f（x）有极小值，且为最小值1；        
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$，
f（x）在[2，+∞）为减函数，则$\frac{a{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$≤0，在x≥2时恒成立，
即a≤（$\frac{1}{x}$）²-$\frac{1}{x}$的最小值，
令g（x）=（$\frac{1}{x}$）²-$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
x≥2则0＜$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$≤g（x）＜0，
则有a≤-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，解决不等式恒成立问题，可转化为求函数的最值，属于中档题．