Question

6．已知a＞0，且a≠1，f（x）=log_ax，数列{a_n}是首项、公比均为a²的等比数列，b_n=f（a_n）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设a=$\sqrt{2}$，c_n=b_n•a_n，试求数列{c_n}前n项和S_n；
（3）令d_n=a_n•lga_n，是否存在实数a∈（0，1），使得数列{d_n}为递增数列．若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题易知a_n=a²ⁿ，利用b_n=f（a_n）=log_aa_n，计算即得结论；
（2）通过b_n=2n，a=$\sqrt{2}$，a_n=a²ⁿ，可得c_n=2n•2ⁿ，写出S_n、2S_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过计算可得d_n+1-d_n=2aⁿ[（n+1）a-n]lga，当0＜a＜1时，d_n＜d_n+1（n∈N^*）当且仅当（n+1）a-n＜0（n∈N^*），计算即得结论．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}是首项、公比均为a²的等比数列，
∴a_n=a²•（a²）^n-1=a²ⁿ，
又∵f（x）=log_ax，b_n=f（a_n），
∴b_n=log_aa²ⁿ=2n，
∴数列{b_n}是等差数列；
（2）解：∵b_n=2n，a=$\sqrt{2}$，a_n=a²ⁿ，
∴c_n=b_n•a_n=2n•2ⁿ，
∴S_n=2•2+2•2•2²+2•3•2³+…+2n•2ⁿ，
2S_n=2•2²+2•2•2³+2•3•2⁴+…+2（n-1）•2ⁿ+2n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=2•2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-2n•2ⁿ⁺¹
=2•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-2n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²（1-n）-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4；
（3）结论：存在实数a∈（0，$\frac{1}{2}$），使得数列{d_n}为递增数列．
理由如下：
∵a_n=a²ⁿ，
∴d_n=a_n•lga_n=2naⁿlga，
∴d_n+1=2（n+1）aⁿ⁺¹lga，
∴d_n+1-d_n=2aⁿ[（n+1）a-n]lga．
当0＜a＜1时，lga＜0，aⁿ＞0，
当且仅当（n+1）a-n＜0（n∈N^*）时，d_n＜d_n+1（n∈N^*），
即当a＜$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*）时，d_n＜d_n+1（n∈N^*），
而当n∈N^*时，n+1≤2n，即$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴只要取a＜$\frac{1}{2}$．
综上所述，当a∈（0，$\frac{1}{2}$）时，数列{d_n}为递增数列．

点评 本题考查判断数列为等差数列，考查求数列的和，考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．注意解题方法的积累，属于中档题．