Question

1．已知a＞b＞c，求证：方程$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0有两个实根，且一个大于b，一个小于b．

Answer 1

分析 先在原方程的两边同乘以（x-a）（x-b）（x-c）得到一元二次方程3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc=0，容易求得判别式△＞0，可设f（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc，能够求出f（b）＜0，从而得出结论：原方程有两个实根，一个大于b，一个小于b．

解答 证明：原方程两边同乘以（x-a）（x-b）（x-c）并整理得：
3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc=0 （1）；
△=4（a²+b²+c²-ab-ac-bc）=2（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=2[（a-b）²+（b-c）²+（a+c）²]；
∵a＞b＞c，
∴△＞0；
∴方程（1）有两个不相等的实根；
∴原方程有两个实根；
设f（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc；
该函数为二次函数；
f（b）=b²-ab+ac-bc=（b-c）（b-a）；
∵a＞b＞c；
∴b-c＞0，b-a＜0；
∴f（b）＜0；
∴方程（1）的两个实根，一个大于b，一个小于b；
即原方程的两个实根一个大于b，一个小于b．

点评 考查将分式方程变成整式方程方程来判断方程解的情况的方法，一元二次方程解的情况和判别式△的关系，以及完全平方式的运用，并熟悉二次函数的图象．