Question

17．数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃，a₄，猜想通项公式a_n，用数学归纳法证明你的猜想；
（2）求证：$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$（a_n+1）²，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．分别令n=1，2，3，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4，猜想通项公式a_n=n．用数学归纳法证明即可．
（2）利用（1）的结论a_n=n，利用数学归纳法证明即可．

解答 （1）解：a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．分别令n=1，2，3，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4，
猜想通项公式a_n=n．
用数学归纳法证明猜想．
（i）当n=1时，a₁=1成立．
（ii）假设当n=k∈N^*时，a_k=k成立．
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{{k}^{2}×k+{k}^{2}}{{k}^{2}+2k-k}$+1=k+1，
∴当n=k+1时，a_k+1=k+1，等式成立．
综上可得：等式a_n=n对于?n∈N^*都成立．
∴a_n=n．
（2）证明：用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，左边=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\sqrt{2}$，右边=$\frac{1}{2}×（1+1）^{2}$=2，∴左边＜右边．
（ii）假设当n=k∈N^*时，不等式$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}{a}_{k+1}}$＜$\frac{1}{2}$（a_k+1）²，k∈N^*成立．
则当n=k+1时，左边=$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}{a}_{k+1}}$+$\sqrt{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$＜$\frac{1}{2}$（a_k+1）²+$\sqrt{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{1}{2}（k+1）^{2}$+$\sqrt{（k+1）（k+2）}$＜$\frac{1}{2}（k+1）^{2}$+$\frac{（k+1）+（k+2）}{2}$=$\frac{1}{2}$（k+2）²．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：不等式对于?n∈N^*都成立．

点评 本题考查了递推式的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了猜想与归纳推理能力与计算能力，属于中档题．