Question

5．对于任意a，b∈R，存在λ∈R，使a²+mb²＞λb（a+b）成立，则实数m的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得a²-λba-（λ-m）b²≥0，结合二次不等式的性质可得△=λ²+4（λ-m）=λ²+4λ-4m≤0，又存在λ∈R成立，△≥0可求

解答 解：∵a²+mb²≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成
∴a²+mb²-λb（a+b）≥0对于任意的a，b∈R恒成
即a²-（λb）a+（m-λ）b²≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，△=λ²+4（λ-m）=λ²+4λ-4m≤0
又∵存在λ∈R使得上述不等式恒成立，
∴△=16+16m≥0，解得m≥-1，
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用二次函数的性质，本题难在对“存在λ∈R成立“的处理．