Question

20．函数f（x）=|x+1|+|x-1|+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的值域[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 转化为y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{4-{x}^{2}}1＜x≤2}\\{2+\sqrt{4-{x}^{2}}，-1≤x≤1}\\{-2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$利用奇偶性，导数判断单调性，求解最值，即可求解值域．

解答 解；∵f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|$+\sqrt{4-{x}^{2}}$=f（x）
∴f（x）是偶函数
∵函数f（x）=|x+1|+|x-1|+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，的定义域为[-2，2]，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，1＜x≤2\\ 2+\sqrt{4-{x}^{2}}，-1≤x≤1\\-2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，-2≤x＜-1\end{array}\right.$，

f（x）=2+$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[-1，0]单调递增，[0，1]单调递减
最小值为f（1）=2$+\sqrt{3}$，
∵y=2x$+\sqrt{4-{x}^{2}}$，1＜x≤2，
y′=2-$\frac{x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$，
y′=0，x²=$\frac{16}{5}$，x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
∴在[1，2]上最大值f（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）=2$\sqrt{5}$，
∴f（x）的值域为[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]，
故答案为：[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]，

点评 本题较复杂，运用分段函数表示出来之后利用单调性，结合导数判断的递增求解最大值最小值，难度较大，考查了学生解决问题的能力，思维．