Question

15．在一个平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$后的图形．
（1）$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
（2）$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
（3）y²=2x．

Answer 1

分析 由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$．分别代入所给的曲线方程中，即可判断出曲线类型．

解答 解：由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$．
（1）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：（x′）²+（y′）²=1，是以原点为圆心、1为半径的圆．

（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{2}-\frac{（{y}^{′}）^{2}}{3}=1$，仍然为以坐标轴为对称轴的双曲线．

（3）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入y²=2x，可得$（{y}^{′}）^{2}=\frac{3}{2}{x}^{′}$，仍然为以x轴为对称轴的抛物线．

点评 本题考查了圆锥曲线的伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．